De Fundamentorum utilitate (III)

 

Seguimos con una selección de palabras de origen griego o latino usadas en Matemáticas  y su sencilla explicación.

 

MATEMÁTICAS

Etimología:

Del latín mathematica y ésta del griego μαθηματική, terminación femenina del sufijo –ικός. La palabra  significa “relativo al estudio” y en particular “que tiene que ver con las matemáticas (aritmética, geometría, astronomía, mecánica). La expresión ἡ μαθηματική (sobreentendiendo los sustantivos τέχνη o ἐπιστήμη) significaba en el mundo griego “la ciencia de las matemáticas”. El adjetivo μαθηματικός deriva del sustantivo  μάθημα que significa “estudio, ciencia, conocimiento” y que se usaba especialmente en plural μαθήματα para referirse a las ciencias matemáticas que incluían aritmética, geometría y astronomía. El verbo relacionado con todos estos términos es μανθάνω que significa “aprender de forma práctica, aprender por experiencia, aprender a conocer, aprender a hacer”.

Definición:

Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones. Ciencia que trata de la cantidad.

Léxico básico:

1. Apotema: Del griego ἀποτίθημι (deponer, bajar, poner aparte) formado por ἀπό (desde) y el verbo τίθημι (colocar), con sufijo de resultado -μα. Existe un sustantivo ἀπόθησις (acción de deponer)

Distancia entre el centro de un polígono regular y uno cualquiera de sus lados. Altura de las caras triangulares de una pirámide regular.

2. Área: Del latín aream (espacio de cualquier superficie, tierra, sitio, vacío, solar, suelo, en particular terreno destinado a la edificación). Su origen etimológico es desconocido y oscuro.

Superficie comprendida dentro de un perímetro. Extensión de dicha superficie expresada en una determinada unidad de medida.

3. Aritmética: Del griego ἀριθμητική (relativo a los números), con sufijo de pertenencia –ικός. Deriva del sustantivo ἀριθμός (número). Derivado en –θμός de un tema ἀρι- que encontramos en el adjetivo νήριτος (incontable, infinito).

Parte de las matemáticas que estudia los números y las operaciones hechas con ellos.

4. Diagonal: Del latín diagonalem (que va de un ángulo a otro), derivado del griego διαγώνιος (diagonal), formado por la preposición διά (a través de) y γωνία (ángulo).

Dícese de la línea recta que en un polígono va de un vértice a otro no inmediato, y en un poliedro une dos vértices cualesquiera no situados en la misma cara.

5. Ecuación: Del latín aequationem (igualación, acción de igualar, igualdad), derivado del adjetivo aequus (igual, semejante). Parece que está relacionado con el verbo griego εἴκω (ser parecido, parecerse)

Igualdad que contiene una o más incógnitas. En Física, relación de igualdad entre los resultados de efectuar determinadas operaciones matemáticas con las medidas de las magnitudes que intervienen en un fenómeno.

 

6. Estadística: Deriva de estadista con sufijo -ico, del griego- ικός. Estadista deriva de estado y éste viene del latín statum (postura, posición, actitud, posición social, régimen político, estado); de la raíz del verbo sto (estar situado, estar de pie, estar).

Ciencia que utiliza conjuntos de datos numéricos para obtener inferencias basadas en el cálculo de probabilidades. Censo o recuento de la población, de los recursos naturales e industriales, del tráfico o de cualquier otra manifestación de un Estado, provincia, pueblo, clase, etc.

7. Geometría: Del griego γεωμετρία (medición de la tierra, agrimensura, geometría), formado por dos étimos: γῆ (tierra) y μέτρον (medida); ambos muy productivos y con numerosos derivados.

Parte de las matemáticas que trata de las propiedades y la medida de la extensión.

8. Hipotenusa: Del griego ὑποτείνουσα (la que subtiende, la que se extiende por debajo), participio de presente en femenino del verbo ὑποτείνω (tender por debajo), formado por el prefijo ὑπό (debajo) y el verbo simple τείνω (tender). En la geometría griega la hipotenusa se llama  ἡ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν γωνίαν.

Lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo.

9. Isósceles: Del griego ἰσοσκελής (que tiene las piernas iguales, que tiene los lados iguales), formado por el adjetivo ἴσος (igual) y el sustantivo σκέλος (pierna). También significa que puede ser dividido en dos partes iguales; de donde, par. En este sentido está opuesto a σκαληνός (impar, escaleno, el triángulo con los tres lados desiguales).

Triángulo que tiene iguales solamente dos lados.

10. Logaritmo: Del griego λόγος (razón) y ἀριθμός (número).

Exponente a que es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un número determinado. Su empleo simplifica los procedimientos del cálculo aritmético.

11. Ortocentro: Compuesto del griego ὀρθός (recto, correcto) y κέντρον (aguijón, pincho, punta de lanza, centro de una circunferencia).

El punto en que concurren las mediatrices de un triángulo.

12. Parábola: Del griego παραβολή (encuentro, choque, acción de errar el camino recto, parábola, sección cónica, paralelogramo construido sobre una línea recta dada); del verbo παραβάλλω (dirigirse, lanzar fuera del camino recto, extenderse a lo largo de, poner a un lado, exponer a un peligro), formado por la preposición παρά (al lado de) y el verbo βάλλω (lanzar, arrojar). De esta raíz derivan bala, balística, ballesta.

Curva abierta, simétrica respecto de un eje, con un solo foco, y que resulta de cortar un cono circular recto por un plano paralelo a una generatriz que encuentra todas las otras en una sola hoja.

13. Paralelogramo: Del griego παραλληλόγραμμος (paralelogramo) de παράλληλος (situado enfrente, paralelo), formado por la preposición παρά (junto a, a lo largo de) y el pronombre recíproco ἀλλήλους (de uno a otro), derivado en último término del pronombre ἄλλος (otro) y γράμμα (carácter de escritura, letra, figura de matemáticas) Es de la misma raíz del verbo γράφω (escribir). También deriva el gramo, la unidad de peso. Los latinos llamaron scrupulum a la 24ª parte de la onza; y los griegos, relacionando erróneamente scrupulum con scribo, derivaron paralelamente de γράφω, escribir, el sustantivo γράμμα para denotar el peso

Cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos entre sí.

14. Perímetro: Del griego περίμετρος (medida alrededor); ἡ περίμετρος γραμμή es la línea que forma el contorno de donde circunferencia, perímetro. Formado por la preposición περί (alrededor) y μέτρον (medida).

Contorno de una superficie o figura

15. Poliedro: Del griego πολύεδρος (de muchos asientos o grados, de muchas caras); formado por el adjetivo πολύς (mucho) y el sustantivo ἕδρα (asiento, todo objeto para sentarse). Esta palabra deriva de la raíz de  (sentarse) y esta relacionada con el latín sedes (sede).

Sólido terminado por superficies planas.

16. Polinomio: Del griego πολύς (mucho) y νόμος (división).

Expresión compuesta de dos o más términos algebraicos unidos por los signos más o menos. Los de dos o tres términos reciben los nombres especiales de binomio y trinomio, respectivamente.

17. Simetría: Del griego συμμετρία (reducción a una medida común, justa proporción, simetría), formado por la preposición σύν (con, juntamente con) y el sustantivo μέτρον (medida). Significaría medida conjunta.

Proporción adecuada de las partes de un todo entre sí y con el todo mismo. Regularidad en la disposición de las partes o puntos de un cuerpo o figura, de modo que posea un centro, un eje o un plano de simetría.

18. Teorema: Del griego θεώρεμα (que se puede contemplar, objeto de estudio o meditación, regla, principio, teorema) Palabra con sufijo -μα de resultado  derivado del verbo θεωρέω (observar, examinar, contemplar).

Proposición demostrable lógicamente partiendo de axiomas o de otros teoremas ya demostrados, mediante reglas de inferencia aceptadas.

19. Triángulo: Del latín triangulum (de tres ángulos), formado por el prefijo tri- del numeral tres, trium y del sustantivo angulum (rincón, ángulo), derivado del griego ἀγκύλος (corvo, ganchudo, encorvado).

Figura formada por tres rectas que se cortan mutuamente formando tres ángulos.

20. Trigonometría: Del griego τριγωνομετρία (trigonometría, medición de triángulos), formado por τρίγωνος (triángulo) y μετρία (medición). La primera de estas palabras está formada por el prefijo τρι (tres) y el sustantivo γωνία (ángulo) y el segundo es un derivado de μέτρον (medida).

Parte de las matemáticas que trata del cálculo de los elementos de los triángulos planos y esféricos.

 

A parte de los muchos términos griegos existentes en Matemáticas, esta asignatura es heredera de los estudios de, al menos, tres personajes de habla griega: Tales, Pitágoras y Euclides.

¿Quién no conoce el teorema de Tales o el de Pitágoras?

Este último lo hallamos en las Vidas de los Filósofos VIII, 7, de Diógenes Laercio. En el citado lugar podemos leer:

τοῦτον καὶ γεωμετρίαν ἐπὶ πέρας ἀγαγεῖν, Μοίριδος πρῶτον εὑρόντος τὰς ἀρχὰς τῶν στοιχείων αὐτῆς, ὥς φησιν ᾿Αντικλείδης ἐν δευτέρῳ Περὶ ᾿Αλεξἀνδρου. Μάλιστα δὲ σχολάσαι τὸν Πυθαγόραν περὶ τὸ ἀριθμητικὸν εἶδος αὐτῆς· τόν τε κανόνα τὸν ἐκ μιᾶς χορδῆς εὑρεῖν. οὐκ ἠμέλησε δ᾿ οὐδ᾿ ἰατρικῆς. φησὶ δ᾿ ᾿Απολλόδωρος ὁ λογιστικὸς ἑκατόμβην θῦσαι αὐτόν, εὑρόντα ὅτι τοῦ τριγώνου ὀρθογωνίου ἡ ὑποτείνουσα πλευρὰ ἴσον δύναται ταῖς περιεχούσαις. καὶ ἔστιν ἐπίγραμμα οὕτως ἔχον.

ἤνυκε Πυθαγόρης τὸ περικλεές· εὕρατο γράμμα

κλεινὸς ἐφ᾿ ᾧ κλεινὴν ἤγαγε βουθυσίην.

 

José Ortiz y Sainz, en Gredos, traduce así:

Antíclides, en el libro segundo de Alejandro, dice que Pitágoras adelantó mucho en la geometría, cuyos principios y rudimentos había hallado ante Meris. Que se ejercitó principalmente en una especie de ella que es la aritmética. Y que inventó la escala musical por una cuerda sola. No se olvidó de la Medicina. Apolodoro el Computista refiere que sacrificó una hecatombe habiendo hallado que en un triángulo rectángulo la potestad de la línea hipotenusa es igual a la potestad de las dos que lo componen. De esto hay el epigrama siguiente:

Pitágoras, hallada

Aquella nobilísima figura

Bueyes mató por ello en sacrificio.

 

O como lo conocemos más popularmente:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto)

 

 

En cuanto a Tales, su primer teorema recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que:

Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario:

Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

En la obra citada de Diógenes Laercio (Libro I, 24) leemos sobre Tales:

Παρὰ τε Αἰγυπτίων γεωμετρεῖν μαθόντα φησὶ Παμφίλη πρῶτον καταγράψαι κύκλου τὸ τρίγωνον ὀρθογώνιον, καὶ θῦσαι βοῦν. οἱ δὲ Πυθαγόραν φασίν, ὧν ἐστιν ᾿Απολλόδωρος ὁ λογιστικός. οὗτος προήγαγεν ἐπὶ πλεῖστον ἅ φησι Καλλίμαχος ἐν τοῖς ᾿Ιἀμβοις Εὔφορβον εὑρεῖν τὸν Φρύγα, οἷον “σκαληνὰ καὶ τρίγωνα” καὶ ὅσα γραμμικῆς ἔχεται θεωρίας.

Pánfila escribe que habiendo aprendido de los egipcios la Geometría, inventó el triángulo rectángulo en un semicírculo, y que sacrificó un buey por el hallazgo. Otros lo atribuyen a Pitágoras, uno de los cuales es Apolodoro logístico. También promovió mucho lo que dice Calímaco en sus Yambos haber hallado Euforbo Frigio, a saber, el triángulo escaleno, y otras cosas concernientes a la especulación de las líneas.

En nota al pie Ortiz Sainz dice:

Cicerón, Vitruvio y otros antiguos atribuyen este hallazgo (el del triángulo rectángulo) a Pitágoras. Acaso pueden conciliarse ambas opiniones diciendo que Pitágoras inventó la escuadra, según la describe Vitruvio, lib. IX, cap. II, y Tales demostró que en un triángulo rectángulo inscrito en un semicírculo, cuyo diámetro sea la hipotenusa de aquél, el ángulo a la circunferencia es siempre recto (segundo teorema de Tales, lo cual es cosa diversa.

Más adelante, en I, 27 dice Diógenes:

Αρχὴν δὲ τῶν πάντων ὕδωρ ὑπεστήσατο, καὶ τὸν κόσμον ἔμψυχον καὶ δαιμόνων πλήρη. Τάς τε ὥρας τοῦ ἐνιαυτοῦ φασιν αὐτὸν εὑρεῖν καὶ εἰς τριακοσίας ἑξήκοντα πέντε ἡμέρας διελεῖν. Οὐδεὶς δὲ αὐτοῦ καθηγήσατο, πλὴν ὅτι εἰς Αἴγυπτον ἐλθὼν τοῖς ἱερεῦσι συνδιέτριψεν. ὁ δὲ ῾Ιερώνυμος καὶ ἐκμετρῆσαί φησιν αὐτὸν τὰς πυραμίδας ἐκ τῆς σκιᾶς, παρατηρήσαντα ὅτε ἡμῖν ἰσομεγέθεις εἰσίν.

Dijo que “el agua es el primer principio de las cosas; que el mundo está animado y lleno de espíritus”. Fue inventor de las estaciones del año, y asignó a éste trescientos sesenta y cinco días. No tuvo maestro alguno, excepto que viajando por Egipto se familiarizó con los sacerdotes de aquella nación. Jerónimo dice que midió las pirámides por medio de la sombra, proporcionándola con la nuestra cuando es igual al cuerpo.

 

De Euclides dice Antonio Alegre Goñi en el prólogo a la traducción de los libros I a VI de sus Elementos, en Planeta DeAgostini:

Euclides, que tendió el arco de su vida entre los años 330-275, fue el primer director de la, por así decirlo, “facultad de matemáticas” del Museum (de Alejandría). Se formó en Atenas, posiblemente en la Academia de Platón.

Su gran obra es los Elementos, una de las más influyentes de la humanidad. La geometría euclídea aún sigue vigente. Euclides ofrecía en esa obra un cuadro sistemático de toda la geometría griega del círculo y de la recta, así como de la teoría de los números de entonces; también de la geometría tridimensional del plano, la esfera y los sólidos regulares.

Si bien es verdad que Euclides se inspiró en matemáticos y geómetras anteriores, su genio radicó en la organización lógica (a eso llamó racionalización) del material.

“La principal contribución de Euclides es obra de su genio para la organización y la disposición lógica del material. Ensambló los teoremas conocidos, cubriendo hiatos lógicos y suministrando nuevas demostraciones cuando le resultaban necesarias. Y llegó así a construir un gran sistema deductivo. Redujo considerablemente el número de proposiciones indemostrables de las que depende el resto demostrado. Estableció un nuevo criterio de rigor, y también a veces de elegancia en la demostración. Creó un estilo de exposición que aún aprecia Newton 2.000 años más tarde… Es una hazaña asombrosa la de haber escrito un libro que ha desempeñado una parte activa en el desarrollo de las matemáticas durante 2.000 años y que nunca perderá su atractivo de gran clásico para los que gusten de este tema” (L. W. H. Hull, Historia y filosofía de la ciencia, Ariel, Barcelona, 1961, traducción de Manuel Sacristán, pp. 97-98).

De Euclides ofrecemos algunas de sus definiciones, nociones comunes y proposiciones.

Definiciones:

Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ᾿ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται.

Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella.

᾿Επιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει.

Una superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura.

Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ᾿ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

Un círculo es una figura plana comprendida por una línea (que se llama circunferencia) tal que todas las rectas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí.

Διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖἀ τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ᾿ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον.

Un diámetro del círculo es una recta cualquiera trazada a través del centro y limitada en ambos sentidos por la circunferencia del círculo, recta que también divide el círculo en dos partes iguales.

Παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ᾿ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις.

Son rectas paralelas las que estando en el mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.

Nociones comunes:

Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα.

Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.

Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα.

Y se se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales.

Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα.

Y si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.

Καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ᾿ ἄλληλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.

Y las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.

Καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον [ἐστιν].

Y el todo es mayor que la parte.

Proposiciones:

Libro I, 6:

᾿Εὰν τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίαις ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται.

Si dos ángulos de un triángulo son iguales entre sí, también los lados que subtienden a los ángulos iguales serán iguales entre sí.

Libro I, 16:

Παντὸς τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνιῶν μείζων ἐστίν.

En todo triángulo, si se prolonga uno de sus lados, el ángulo externo es mayor que cada uno de los ángulos internos y opuestos.

 

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